Prosta przez punkt P = (1, 2) o najmniejszej sumie odcinków odciętych na osiach

Krok 1. Zmienna. Prosta przecinająca obie dodatnie półosie i przechodząca przez punkt pierwszej ćwiartki ma ujemny współczynnik kierunkowy. Oznaczmy go $-m$, $m > 0$:

$y - 2 = -m(x - 1).$

Krok 2. Punkty przecięcia z osiami. Dla $y = 0$: $x = 1 + \frac{2}{m}$, więc $|OA| = 1 + \frac{2}{m}$. Dla $x = 0$: $y = 2 + m$, więc $|OB| = 2 + m$.

Krok 3. Funkcja celu.

$s(m) = 1 + \frac{2}{m} + 2 + m = 3 + m + \frac{2}{m}, \qquad m > 0.$

Krok 4. Pochodna.

$s'(m) = 1 - \frac{2}{m^2} = \frac{m^2 - 2}{m^2}.$

Na przedziale $(0, \infty)$ zeruje się tylko w $m = \sqrt{2}$. Dla $0 < m < \sqrt{2}$ jest ujemna, dla $m > \sqrt{2}$ dodatnia - w $m = \sqrt{2}$ funkcja ma wartość najmniejszą.

Krok 5. Wynik. $s(\sqrt{2}) = 3 + \sqrt{2} + \frac{2}{\sqrt{2}} = 3 + 2\sqrt{2}$. Prosta: $y = -\sqrt{2}(x - 1) + 2$, czyli $y = -\sqrt{2}\,x + 2 + \sqrt{2}$. Odcinki na osiach: $|OA| = 1 + \sqrt{2}$ i $|OB| = 2 + \sqrt{2}$.

Krok 6. Kontrola. Dla innych nachyleń suma jest większa: $s(1) = 6$, $s(2) = 6$, a $3 + 2\sqrt{2} \approx 5{,}83$.

Odpowiedź. $y = -\sqrt{2}\,x + 2 + \sqrt{2}$; najmniejsza suma odcinków wynosi $3 + 2\sqrt{2} \approx 5{,}83$.