Punkt paraboli y = x² + 1 położony najbliżej prostej y = x − 1

Krok 1. Zmienna. Punkt paraboli to $P = (t, t^2 + 1)$, $t \in \mathbb{R}$. Prosta w postaci ogólnej: $x - y - 1 = 0$.

Krok 2. Funkcja odległości.

$d(t) = \frac{|t - (t^2 + 1) - 1|}{\sqrt{1 + 1}} = \frac{|-t^2 + t - 2|}{\sqrt{2}} = \frac{t^2 - t + 2}{\sqrt{2}}.$

Moduł opuszczamy, bo $t^2 - t + 2$ ma wyróżnik $\Delta = 1 - 8 < 0$, więc jest zawsze dodatnie - parabola nie przecina prostej.

Krok 3. Pochodna i znak. $d'(t) = \frac{2t - 1}{\sqrt{2}}$. Zeruje się w $t = \frac{1}{2}$, jest ujemna dla $t < \frac{1}{2}$ i dodatnia dla $t > \frac{1}{2}$ - w $t = \frac{1}{2}$ funkcja osiąga wartość najmniejszą.

Krok 4. Punkt i odległość. $P = \left(\frac{1}{2}, \frac{5}{4}\right)$,

$d\left(\tfrac{1}{2}\right) = \frac{\frac{1}{4} - \frac{1}{2} + 2}{\sqrt{2}} = \frac{7}{4\sqrt{2}} = \frac{7\sqrt{2}}{8}.$

Krok 5. Kontrola przez styczną. Pochodna funkcji $y = x^2 + 1$ w $x = \frac{1}{2}$ wynosi $2 \cdot \frac{1}{2} = 1$ - styczna w punkcie $P$ jest równoległa do prostej $y = x - 1$, tak jak powinno być w punkcie najbliższym.

Odpowiedź. $P = \left(\frac{1}{2}, \frac{5}{4}\right)$, odległość $\frac{7\sqrt{2}}{8} \approx 1{,}24$.