Najkrótszy odcinek stycznej do okręgu x² + y² = 4 zawarty między osiami układu

Krok 1. Równanie stycznej. Styczna w $T$ jest prostopadła do promienia $\overrightarrow{OT} = [a, b]$, więc ma postać $ax + by + C = 0$. Przechodzi przez $T$: $a^2 + b^2 + C = 0$, a $a^2 + b^2 = 4$, więc $C = -4$:

$ax + by = 4.$

Krok 2. Punkty przecięcia z osiami. $A = \left(\frac{4}{a}, 0\right)$, $B = \left(0, \frac{4}{b}\right)$:

$|AB|^2 = \frac{16}{a^2} + \frac{16}{b^2}.$

Krok 3. Jedna zmienna. Niech $u = a^2$; wtedy $b^2 = 4 - u$ i $u \in (0, 4)$:

$g(u) = \frac{16}{u} + \frac{16}{4 - u}.$

Minimalizujemy $|AB|^2$ - najmniejszy kwadrat długości oznacza najkrótszy odcinek.

Krok 4. Pochodna.

$g'(u) = -\frac{16}{u^2} + \frac{16}{(4 - u)^2} = \frac{16\left(u^2 - (4 - u)^2\right)}{u^2(4 - u)^2} = \frac{16 \cdot 4(2u - 4)}{u^2(4 - u)^2}.$

Zeruje się w $u = 2$, jest ujemna dla $u < 2$ i dodatnia dla $u > 2$ - minimum na całym przedziale $(0, 4)$.

Krok 5. Wynik. $a^2 = 2$, $b^2 = 2$, więc $T = (\sqrt{2}, \sqrt{2})$, a $|AB|^2 = 8 + 8 = 16$, czyli $|AB| = 4$. Styczna: $\sqrt{2}x + \sqrt{2}y = 4$, czyli $x + y = 2\sqrt{2}$, z punktami $A = (2\sqrt{2}, 0)$ i $B = (0, 2\sqrt{2})$.

Krok 6. Kontrola. Dla innego punktu, np. $T = (1, \sqrt{3})$: $|AB|^2 = 16 + \frac{16}{3} > 16$. Gdy $T$ zbliża się do osi, jeden z punktów $A$, $B$ ucieka w nieskończoność, więc długość rośnie nieograniczenie - minimum jest w środku przedziału, zgodnie z symetrią zadania.

Odpowiedź. $T = (\sqrt{2}, \sqrt{2})$; najkrótszy odcinek $AB$ ma długość $4$ (równą średnicy okręgu).