Najkrótszy odcinek przechodzący przez punkt P = (8, 1) o końcach na dodatnich półosiach

Krok 1. Zmienna. Prosta $AB$ ma ujemny współczynnik kierunkowy $-m$, $m > 0$: $y - 1 = -m(x - 8)$. Wtedy

$A = \left(8 + \frac{1}{m}, 0\right), \qquad B = (0, 1 + 8m).$

Krok 2. Kwadrat długości.

$L^2(m) = \left(8 + \frac{1}{m}\right)^2 + (1 + 8m)^2 = \frac{(8m + 1)^2}{m^2} + (8m + 1)^2 = \frac{(8m + 1)^2(1 + m^2)}{m^2}.$

Krok 3. Pochodna. Wygodnie różniczkować $f(m) = L^2(m)$ jako iloczyn $(8m + 1)^2 \cdot \left(1 + \frac{1}{m^2}\right)$:

$f'(m) = 16(8m + 1)\left(1 + \frac{1}{m^2}\right) + (8m + 1)^2 \cdot \left(-\frac{2}{m^3}\right) = \frac{2(8m + 1)}{m^3}\left(8m^3 + 8m - 8m - 1\right) = \frac{2(8m + 1)(8m^3 - 1)}{m^3}.$

Krok 4. Punkt krytyczny i znak. Dla $m > 0$ czynniki $8m + 1$ i $m^3$ są dodatnie, więc znak pochodnej to znak $8m^3 - 1$. Zeruje się w $m = \frac{1}{2}$, ujemna dla $m < \frac{1}{2}$, dodatnia dla $m > \frac{1}{2}$ - minimum.

Krok 5. Wynik. $m = \frac{1}{2}$: $A = (8 + 2, 0) = (10, 0)$, $B = (0, 1 + 4) = (0, 5)$,

$|AB| = \sqrt{100 + 25} = \sqrt{125} = 5\sqrt{5} \approx 11{,}18.$

Prosta $AB$: $y = -\frac{1}{2}x + 5$, czyli $x + 2y - 10 = 0$; punkt $P$ na niej leży: $8 + 2 - 10 = 0$.

Krok 6. Kontrola i ogólny wzór. Dla $m = 1$: $L^2 = 81 \cdot 2 = 162 > 125$. Ogólnie dla $P = (p, q)$ najkrótszy odcinek ma długość $\left(p^{2/3} + q^{2/3}\right)^{3/2}$; tu $\left(8^{2/3} + 1\right)^{3/2} = (4 + 1)^{3/2} = 5\sqrt{5}$. To ten sam rachunek co w klasycznym zadaniu o najdłuższej drabinie, którą da się przenieść za róg korytarza.

Odpowiedź. $A = (10, 0)$, $B = (0, 5)$; najkrótszy odcinek ma długość $5\sqrt{5}$.