Trapez o największym polu wpisany w półokrąg x² + y² = 4 - pochodna funkcji z pierwiastkiem

Krok 1. Zmienna. $A = (-2, 0)$, $B = (2, 0)$, $C = \left(t, \sqrt{4 - t^2}\right)$, $D = \left(-t, \sqrt{4 - t^2}\right)$, gdzie $t \in (0, 2)$.

Krok 2. Funkcja celu. Podstawy mają długości $4$ i $2t$, wysokość $\sqrt{4 - t^2}$:

$P(t) = \frac{4 + 2t}{2}\sqrt{4 - t^2} = (2 + t)\sqrt{4 - t^2}.$

Krok 3. Pochodna (iloczyn i funkcja złożona):

$P'(t) = \sqrt{4 - t^2} + (2 + t)\cdot\frac{-t}{\sqrt{4 - t^2}} = \frac{4 - t^2 - 2t - t^2}{\sqrt{4 - t^2}} = \frac{-2(t^2 + t - 2)}{\sqrt{4 - t^2}}.$

Krok 4. Punkt krytyczny. $t^2 + t - 2 = (t + 2)(t - 1) = 0$, więc $t = 1$ (rozwiązanie $t = -2$ jest spoza dziedziny). Dla $0 < t < 1$ czynnik $(t + 2)(t - 1)$ jest ujemny, więc $P'(t) > 0$; dla $1 < t < 2$ - $P'(t) < 0$. W $t = 1$ pole jest największe.

Krok 5. Wynik. $C = (1, \sqrt{3})$, $D = (-1, \sqrt{3})$, a

$P(1) = 3\sqrt{3} \approx 5{,}20.$

Krok 6. Co to za trapez. Ramię $|BC| = \sqrt{(2 - 1)^2 + 3} = 2$ i górna podstawa $|CD| = 2$ - obie równe promieniowi. Trapez składa się z trzech trójkątów równobocznych o boku $2$ (o wspólnym wierzchołku w środku okręgu), czyli jest połową sześciokąta foremnego. Kontrola: $3 \cdot \frac{2^2\sqrt{3}}{4} = 3\sqrt{3}$.

Odpowiedź. $C = (1, \sqrt{3})$, $D = (-1, \sqrt{3})$; największe pole trapezu wynosi $3\sqrt{3}$.