Namiot w kształcie stożka - najmniej materiału przy danej objętości

Krok 1. Wysokość z objętości. $\frac{1}{3}\pi r^2 H = 9\sqrt{2}\,\pi$, więc

$H = \frac{27\sqrt{2}}{r^2}, \qquad r \in (0;\ +\infty).$

Krok 2. Funkcja celu. $P_b = \pi r l = \pi r\sqrt{r^2 + H^2}$. Pole jest dodatnie, więc wystarczy zminimalizować jego kwadrat podzielony przez $\pi^2$:

$f(r) = r^2\left(r^2 + H^2\right) = r^4 + r^2 \cdot \frac{1458}{r^4} = r^4 + \frac{1458}{r^2},$

bo $H^2 = \frac{729 \cdot 2}{r^4} = \frac{1458}{r^4}$.

Krok 3. Pochodna.

$f'(r) = 4r^3 - \frac{2916}{r^3} = \frac{4\left(r^6 - 729\right)}{r^3}.$

Krok 4. Punkty krytyczne. $r^6 = 729 = 3^6$, więc $r = 3$.

Krok 5. Uzasadnienie. Dla $r > 0$ znak $f'$ to znak $r^6 - 729$: ujemny dla $r < 3$, dodatni dla $r > 3$. W $r = 3$ funkcja $f$ (a więc i pole) jest najmniejsza:

$H = \frac{27\sqrt{2}}{9} = 3\sqrt{2}, \qquad l = \sqrt{9 + 18} = 3\sqrt{3}, \qquad P_b = \pi \cdot 3 \cdot 3\sqrt{3} = 9\sqrt{3}\,\pi.$

Odpowiedź. Promień $3$ m, wysokość $3\sqrt{2} \approx 4{,}24$ m; materiału potrzeba $9\sqrt{3}\,\pi \approx 49{,}0 \text{ m}^2$.

Komentarz. Wyszło $H = r\sqrt{2}$ - i tak jest przy każdej objętości, bo zmiana objętości tylko przeskalowuje cały namiot. Dla porównania stożek o danej tworzącej i największej objętości ma proporcje odwrotne, $r = H\sqrt{2}$ (lekcja) - to inne zadanie, bo tam stała jest tworząca, a nie objętość.