Walec o polu powierzchni 54π i największej objętości

Krok 1. Wysokość z warunku. $2\pi r^2 + 2\pi r H = 54\pi$, czyli $r^2 + rH = 27$, więc

$H = \frac{27 - r^2}{r}.$

Krok 2. Dziedzina. Musi być $r > 0$ i $H > 0$, czyli $27 - r^2 > 0$. Stąd $r \in \left(0;\ 3\sqrt{3}\right)$.

Krok 3. Funkcja celu.

$V(r) = \pi r^2 H = \pi r^2 \cdot \frac{27 - r^2}{r} = \pi\left(27r - r^3\right).$

Krok 4. Pochodna i punkty krytyczne.

$V'(r) = \pi\left(27 - 3r^2\right) = 3\pi(3 - r)(3 + r).$

W dziedzinie $3 + r > 0$, więc $V'(r) = 0$ tylko dla $r = 3$, a $3 < 3\sqrt{3} \approx 5{,}2$.

Krok 5. Uzasadnienie. $V' > 0$ dla $0 < r < 3$, $V' < 0$ dla $3 < r < 3\sqrt{3}$ - maksimum w $r = 3$:

$H = \frac{27 - 9}{3} = 6, \qquad V = \pi \cdot 9 \cdot 6 = 54\pi.$

Odpowiedź. $r = 3$, $H = 6$, $V_{\max} = 54\pi \approx 169{,}6$.

Komentarz. Wyszło $H = 2r$ - walec równoboczny. To ten sam kształt co puszka o najmniejszym polu przy danej objętości: zadania „największa objętość przy danym polu” i „najmniejsze pole przy danej objętości” mają tę samą odpowiedź.