Garnek bez pokrywki o pojemności 216π - najmniej blachy

Krok 1. Wysokość z objętości. $\pi r^2 H = 216\pi$, więc $H = \frac{216}{r^2}$.

Krok 2. Funkcja celu. Blacha to jedno dno i powierzchnia boczna:

$P(r) = \pi r^2 + 2\pi r H = \pi r^2 + 2\pi r \cdot \frac{216}{r^2} = \pi r^2 + \frac{432\pi}{r}, \qquad r \in (0;\ +\infty).$

Krok 3. Pochodna.

$P'(r) = 2\pi r - \frac{432\pi}{r^2} = \frac{2\pi\left(r^3 - 216\right)}{r^2}.$

Krok 4. Punkty krytyczne. $r^3 = 216$, czyli $r = 6$.

Krok 5. Uzasadnienie. Mianownik $r^2$ jest dodatni, a znak licznika to znak $r^3 - 216$: ujemny dla $r < 6$, dodatni dla $r > 6$. Pole maleje, a potem rośnie - w $r = 6$ jest najmniejsze:

$H = \frac{216}{36} = 6, \qquad P = 36\pi + \frac{432\pi}{6} = 36\pi + 72\pi = 108\pi.$

Odpowiedź. Promień dna $6$ cm, wysokość $6$ cm, blachy potrzeba $108\pi \approx 339{,}3 \text{ cm}^2$.

Komentarz. Garnek bez pokrywki ma optymalnie $H = r$, a zamknięta puszka - $H = 2r$ (zadanie o puszce). Brak pokrywki sprawia, że opłaca się garnek niższy. Ten sam wynik dla dowolnej pojemności wyprowadzamy w lekcji.