Stożek o największej objętości, gdy suma promienia i wysokości wynosi 9

Krok 1. Zmienna i dziedzina. Niech $r$ - promień, wtedy $H = 9 - r$. Obie długości muszą być dodatnie, więc $r \in (0;\ 9)$.

Krok 2. Funkcja celu.

$V(r) = \frac{1}{3}\pi r^2 (9 - r) = \frac{\pi}{3}\left(9r^2 - r^3\right), \qquad r \in (0;\ 9).$

Krok 3. Pochodna.

$V'(r) = \frac{\pi}{3}\left(18r - 3r^2\right) = \pi r(6 - r).$

Krok 4. Punkty krytyczne. $V'(r) = 0$ dla $r = 0$ albo $r = 6$. Liczba $0$ nie należy do dziedziny, zostaje $r = 6$.

Krok 5. Uzasadnienie. Dla $0 < r < 6$ jest $V' > 0$, a dla $6 < r < 9$ - $V' < 0$. Objętość rośnie, a potem maleje, więc w $r = 6$ osiąga wartość największą:

$H = 9 - 6 = 3, \qquad V = \frac{1}{3}\pi \cdot 36 \cdot 3 = 36\pi, \qquad l = \sqrt{36 + 9} = 3\sqrt{5}.$

Odpowiedź. $r = 6$, $H = 3$, $V_{\max} = 36\pi \approx 113{,}1$, tworząca $3\sqrt{5} \approx 6{,}71$.

Komentarz. Intuicja „po równo” ($r = H = 4{,}5$) daje tylko $V = \frac{1}{3}\pi \cdot 20{,}25 \cdot 4{,}5 = 30{,}375\pi$. Promień liczy się w objętości podwójnie ($r^2$), więc opłaca się go wydłużyć kosztem wysokości - optymalnie $r = 2H$.