Lejek z wycinka koła o promieniu 6 - jaki kąt daje największą objętość

Krok 1. Co jest stałe. Promień koła staje się tworzącą stożka: $l = 6$ niezależnie od kąta. Od kąta zależą promień $r$ i wysokość $H$ lejka, przy czym $r^2 + H^2 = 36$.

Krok 2. Zmienna i dziedzina. Wygodniej wziąć wysokość $H \in (0;\ 6)$ - wtedy $r^2 = 36 - H^2$ bez pierwiastka.

Krok 3. Funkcja celu.

$V(H) = \frac{1}{3}\pi\left(36 - H^2\right)H = \frac{\pi}{3}\left(36H - H^3\right).$

Krok 4. Pochodna i punkty krytyczne.

$V'(H) = \frac{\pi}{3}\left(36 - 3H^2\right) = \pi\left(12 - H^2\right) = 0 \iff H = 2\sqrt{3} \quad (H > 0).$

Krok 5. Uzasadnienie. $V' > 0$ dla $H < 2\sqrt{3}$, $V' < 0$ dla $H > 2\sqrt{3}$ - maksimum:

$r^2 = 36 - 12 = 24, \quad r = 2\sqrt{6}, \qquad V = \frac{1}{3}\pi \cdot 24 \cdot 2\sqrt{3} = 16\sqrt{3}\,\pi.$

Krok 6. Kąt wycinka. Łuk wycinka ma długość obwodu podstawy, więc (siatka stożka):

$\alpha = \frac{r}{l} \cdot 360^\circ = \frac{2\sqrt{6}}{6} \cdot 360^\circ = 120\sqrt{6}^{\,\circ} \approx 293{,}9^\circ.$

Odpowiedź. Największą pojemność daje wycinek o kącie $120\sqrt{6}^{\,\circ} \approx 294^\circ$ (odrzucamy tylko około $66^\circ$ koła). Pojemność lejka to $16\sqrt{3}\,\pi \approx 87{,}1 \text{ dm}^3$, czyli około $87$ litrów.

Komentarz. Pełne koło ($\alpha = 360^\circ$) dałoby $r = 6$ i $H = 0$ - płaski krążek o zerowej pojemności; bardzo wąski wycinek daje wysoki, ale cienki lejek. Optimum leży pomiędzy i nie zależy od promienia koła: zawsze $\alpha = 360^\circ \cdot \sqrt{\frac{2}{3}}$.