Walec wpisany w stożek o największym polu powierzchni bocznej

Krok 1. Zmienna i dziedzina. Niech $r$ - promień walca, $r \in (0;\ 4)$, a $h$ - jego wysokość.

Krok 2. Związek z podobieństwa. Nad walcem zostaje mały stożek o promieniu $r$ i wysokości $10 - h$, podobny do całego:

$\frac{10 - h}{r} = \frac{10}{4} \quad\Longrightarrow\quad h = 10 - \frac{5}{2}r.$

Krok 3. Funkcja celu.

$P_b(r) = 2\pi r h = 2\pi r\left(10 - \frac{5}{2}r\right) = 20\pi r - 5\pi r^2, \qquad r \in (0;\ 4).$

Krok 4. Maksimum. To funkcja kwadratowa o ujemnym współczynniku przy $r^2$ - ramiona paraboli skierowane w dół, więc największa wartość jest w wierzchołku. Pochodna nie jest tu potrzebna:

$r_w = \frac{-20\pi}{2 \cdot (-5\pi)} = 2 \in (0;\ 4).$

(Pochodna daje to samo: $P_b'(r) = 20\pi - 10\pi r = 0 \iff r = 2$, dodatnia przed $2$, ujemna po.)

Krok 5. Wynik. $h = 10 - 5 = 5$, a

$P_b = 2\pi \cdot 2 \cdot 5 = 20\pi.$

Odpowiedź. Walec o promieniu $2$ i wysokości $5$ ma największe pole boczne, równe $20\pi \approx 62{,}8$.

Uwaga. Walec o największej objętości wpisany w ten sam stożek ma inny promień: $r = \frac{2}{3} \cdot 4 = \frac{8}{3}$ (zob. lekcję). Maksimum zależy od tego, co maksymalizujemy - pole boczne „woli” walec o połowie promienia i połowie wysokości stożka.