Walec o największej objętości wpisany w stożek o tworzącej 10

Krok 1. Wysokość stożka. Z twierdzenia Pitagorasa $H = \sqrt{10^2 - 6^2} = 8$.

Krok 2. Zmienna i dziedzina. Niech $r$ - promień walca. Walec mieści się w stożku, więc $r \in (0;\ 6)$.

Krok 3. Związek między $h$ a $r$. Na prawo od walca zostaje w przekroju trójkąt prostokątny o przyprostokątnych $6 - r$ i $h$, podobny do trójkąta o przyprostokątnych $6$ i $8$ (ma ten sam kąt przy podstawie):

$\frac{h}{6 - r} = \frac{8}{6} \quad\Longrightarrow\quad h = \frac{4}{3}(6 - r) = 8 - \frac{4}{3}r.$

Krok 4. Funkcja celu.

$V(r) = \pi r^2 h = \pi\left(8r^2 - \frac{4}{3}r^3\right), \qquad r \in (0;\ 6).$

Krok 5. Pochodna i punkty krytyczne.

$V'(r) = \pi\left(16r - 4r^2\right) = 4\pi r(4 - r).$

W dziedzinie $r > 0$, więc $V'(r) = 0$ tylko dla $r = 4$.

Krok 6. Uzasadnienie. Dla $0 < r < 4$ mamy $V'(r) > 0$ (objętość rośnie), a dla $4 < r < 6$ - $V'(r) < 0$ (maleje). W $r = 4$ objętość jest największa:

$h = 8 - \frac{16}{3} = \frac{8}{3}, \qquad V = \pi \cdot 16 \cdot \frac{8}{3} = \frac{128}{3}\pi.$

Krok 7. Porównanie ze stożkiem. $V_{\text{stożka}} = \frac{1}{3}\pi \cdot 36 \cdot 8 = 96\pi$, więc

$\frac{V}{V_{\text{stożka}}} = \frac{128}{3 \cdot 96} = \frac{4}{9}.$

Odpowiedź. Walec ma promień $4$ i wysokość $\frac{8}{3}$, jego objętość to $\frac{128}{3}\pi \approx 134{,}0$, czyli $\frac{4}{9}$ objętości stożka. Zgodnie z ogólnym wynikiem z lekcji zadania optymalizacyjne z brył: $r = \frac{2}{3}R$, $h = \frac{1}{3}H$.