Parametr w podstawie: kiedy f(x) = (2m − 1)ˣ maleje?

Krok 1. Kiedy funkcja wykładnicza maleje. Funkcja $a^x$ jest malejąca dokładnie wtedy, gdy podstawa leży w przedziale $(0, 1)$. Warunek $a > 0$, $a \ne 1$ (żeby w ogóle była funkcją wykładniczą) jest wtedy spełniony automatycznie.

Krok 2. Podwójna nierówność.

$0 < 2m - 1 < 1.$

Krok 3. Rozwiązujemy - dodajemy $1$ do wszystkich stron, potem dzielimy przez $2$:

$1 < 2m < 2 \quad\Longrightarrow\quad \frac{1}{2} < m < 1.$

Sprawdzenie. Dla $m = \frac{3}{4}$ podstawa to $\frac{1}{2}$ - funkcja $\left(\frac{1}{2}\right)^x$ maleje. Dla $m = 1$ podstawa to $1$ (funkcja stała), dla $m = \frac{1}{2}$ podstawa to $0$ - oba końce słusznie są wykluczone.

Odpowiedź. $m \in \left(\frac{1}{2}, 1\right)$.