Model wykładniczy: podwajanie liczby bakterii

Krok 1. Budujemy model. Po każdych $3$ godzinach liczba bakterii mnoży się przez $2$. W czasie $t$ godzin mieści się $\tfrac{t}{3}$ takich okresów, więc

$N(t) = 1000 \cdot 2^{t/3}.$

Krok 2. Sprawdzamy wzór na znanych wartościach. Dla $t = 0$: $N = 1000 \cdot 2^0 = 1000$. Dla $t = 3$: $N = 1000 \cdot 2^1 = 2000$ - zgadza się z treścią.

Krok 3. Rozwiązujemy równanie $N(t) = 8000$.

$1000 \cdot 2^{t/3} = 8000 \quad\Longrightarrow\quad 2^{t/3} = 8 = 2^3.$

Krok 4. Porównujemy wykładniki.

$\frac{t}{3} = 3 \quad\Longrightarrow\quad t = 9.$

Krok 5. Sprawdzenie „na palcach”. Z $1000$ do $8000$ to trzy podwojenia ($1000 \to 2000 \to 4000 \to 8000$), a każde trwa $3$ godziny - razem $9$ godzin.

Odpowiedź. a) $N(t) = 1000 \cdot 2^{t/3}$; b) po $9$ godzinach.