Liczba rozwiązań równania |x² − 4x + 3| = 1

Krok 1. Rozbijamy moduł. Równość zachodzi, gdy wyrażenie wewnątrz jest równe $1$ albo $-1$:

$x^2 - 4x + 3 = 1 \qquad \text{lub} \qquad x^2 - 4x + 3 = -1.$

Krok 2. Pierwsze równanie.

$x^2 - 4x + 2 = 0, \qquad \Delta = 16 - 8 = 8 > 0,$

więc są dwa rozwiązania: $x = 2 \pm \sqrt{2}$.

Krok 3. Drugie równanie.

$x^2 - 4x + 4 = 0, \qquad \Delta = 16 - 16 = 0,$

więc jest jedno rozwiązanie: $x = 2$.

Krok 4. Sumujemy. Rozwiązania z obu równań są różne, więc łącznie jest ich trzy.

Sprawdzenie na wykresie. Funkcja $f(x) = x^2-4x+3$ ma miejsca zerowe $1$ i $3$ oraz wierzchołek $(2, -1)$. Po odbiciu części pod osią wykres $y = |f(x)|$ ma „garb” o wysokości $1$, a prosta $y = 1$ przechodzi dokładnie przez jego wierzchołek - stąd trzy punkty wspólne.

Odpowiedź. Równanie ma trzy rozwiązania: $x = 2 - \sqrt{2}$, $x = 2$ oraz $x = 2 + \sqrt{2}$.