Równanie z modułem i podstawieniem: x² − 3|x| + 2 = 0

Krok 1. Podstawienie. Zauważmy, że $x^2 = |x|^2$, więc podstawiamy $t = |x|$, gdzie $t \ge 0$:

$t^2 - 3t + 2 = 0.$

Krok 2. Rozwiązujemy równanie kwadratowe.

$\Delta = 9 - 8 = 1, \qquad t_1 = \frac{3-1}{2} = 1, \qquad t_2 = \frac{3+1}{2} = 2.$

Oba wyniki są nieujemne, więc oba są dopuszczalne.

Krok 3. Wracamy do $x$.

$|x| = 1 \ \Longrightarrow\ x = -1 \ \text{ lub } \ x = 1,$

$|x| = 2 \ \Longrightarrow\ x = -2 \ \text{ lub } \ x = 2.$

Sprawdzenie. Dla $x = -2$: $4 - 3 \cdot 2 + 2 = 0$. Zgadza się.

Odpowiedź. $x \in \{-2, -1, 1, 2\}$.