Nierówność z modułem i kwadratem: |x² − 4| < 3

Krok 1. Zamieniamy moduł na podwójną nierówność.

$-3 < x^2 - 4 < 3.$

Krok 2. Dodajemy $4$ do wszystkich części.

$1 < x^2 < 7.$

Krok 3. Rozwiązujemy obie części osobno.

Warunek $x^2 > 1$ daje $x < -1$ lub $x > 1$.

Warunek $x^2 < 7$ daje $-\sqrt{7} < x < \sqrt{7}$.

Krok 4. Bierzemy część wspólną.

$x \in (-\sqrt{7};\ -1) \cup (1;\ \sqrt{7}).$

Sprawdzenie. Dla $x = 2$ (należy do drugiego przedziału, bo $\sqrt{7} \approx 2{,}65$): $|4 - 4| = 0 < 3$. Zgadza się. Dla $x = 0$ (spoza rozwiązania): $|0 - 4| = 4 > 3$ - poprawnie odrzucone.

Odpowiedź. $x \in (-\sqrt{7};\ -1) \cup (1;\ \sqrt{7})$.