Rozkład wielomianu dwukwadratowego: 4x⁴ − 17x² + 4

Krok 1. Podstawienie. Wielomian zawiera tylko potęgi parzyste, więc podstawiamy $t = x^2$:

$4t^2 - 17t + 4.$

Krok 2. Pierwiastki trójmianu w $t$:

$\Delta = 17^2 - 4 \cdot 4 \cdot 4 = 289 - 64 = 225, \qquad \sqrt{\Delta} = 15,$

$t_1 = \frac{17 - 15}{8} = \frac{1}{4}, \qquad t_2 = \frac{17 + 15}{8} = 4.$

Krok 3. Postać iloczynowa trójmianu - z współczynnikiem $4$.

$4t^2 - 17t + 4 = 4\left(t - \frac{1}{4}\right)(t - 4) = (4t - 1)(t - 4).$

Krok 4. Wracamy do $x$:

$W(x) = (4x^2 - 1)(x^2 - 4).$

Krok 5. Oba nawiasy to różnice kwadratów: $4x^2 - 1 = (2x - 1)(2x + 1)$ oraz $x^2 - 4 = (x - 2)(x + 2)$.

Uwaga. Najczęstszy błąd to zapis $\left(x^2 - \frac{1}{4}\right)(x^2 - 4)$ - zgubiony współczynnik $4$ zmienia wielomian (po wymnożeniu współczynnik przy $x^4$ wynosi $1$, a nie $4$).

Odpowiedź. $W(x) = (2x - 1)(2x + 1)(x - 2)(x + 2)$.