Rozkład x⁴ + 64 - wielomian bez pierwiastków, a jednak rozkładalny

Krok 1. Pierwiastków nie ma. Dla każdego $x$ mamy $x^4 \geq 0$, więc $W(x) \geq 64 > 0$. Nie znajdziemy więc czynnika liniowego $(x - a)$ - ale wielomian stopnia czwartego i tak musi się rozkładać na czynniki niższego stopnia. Szukamy dwóch trójmianów kwadratowych.

Krok 2. Uzupełniamy do pełnego kwadratu. $x^4 + 64$ to „prawie” $(x^2 + 8)^2 = x^4 + 16x^2 + 64$. Dodajemy i odejmujemy brakujące $16x^2$:

$x^4 + 64 = x^4 + 16x^2 + 64 - 16x^2 = (x^2 + 8)^2 - (4x)^2.$

Krok 3. Różnica kwadratów z $a = x^2 + 8$ i $b = 4x$:

$(x^2 + 8)^2 - (4x)^2 = (x^2 + 8 - 4x)(x^2 + 8 + 4x) = (x^2 - 4x + 8)(x^2 + 4x + 8).$

Krok 4. Czy trójmiany rozkładają się dalej? Oba mają tę samą deltę:

$\Delta = 16 - 4 \cdot 8 = -16 < 0.$

Oba są nierozkładalne - rozkład jest pełny.

Sprawdzenie (wymnożenie jako iloczyn sumy i różnicy):

$\left((x^2 + 8) - 4x\right)\left((x^2 + 8) + 4x\right) = (x^2 + 8)^2 - 16x^2 = x^4 + 16x^2 + 64 - 16x^2 = x^4 + 64.$

Uwaga. Wnioskowanie „nie ma pierwiastków, więc się nie rozkłada” jest błędne dla stopnia $4$ i wyższego. Nierozkładalne (wśród wielomianów o współczynnikach rzeczywistych) są tylko wielomiany stopnia $1$ i trójmiany kwadratowe z ujemną deltą.

Odpowiedź. $W(x) = (x^2 - 4x + 8)(x^2 + 4x + 8)$.