Wzory skróconego mnożenia stopnia 3: rozkład 8x³ − 125 i x³ + 9x² + 27x + 27

Krok 1. a) Rozpoznajemy różnicę sześcianów. $8x^3 = (2x)^3$ oraz $125 = 5^3$, więc stosujemy wzór $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$ z $a = 2x$, $b = 5$:

$8x^3 - 125 = (2x - 5)\left((2x)^2 + 2x \cdot 5 + 5^2\right) = (2x - 5)(4x^2 + 10x + 25).$

Krok 2. a) Czy trójmian rozkłada się dalej? Liczymy deltę:

$\Delta = 10^2 - 4 \cdot 4 \cdot 25 = 100 - 400 = -300 < 0.$

Trójmian nie ma pierwiastków, więc jest nierozkładalny - rozkład jest pełny.

Krok 3. b) Rozpoznajemy sześcian sumy. Skrajne wyrazy to sześciany: $x^3$ i $27 = 3^3$. Sprawdzamy środkowe wyrazy ze wzoru $(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$ dla $a = x$, $b = 3$:

$3a^2b = 3 \cdot x^2 \cdot 3 = 9x^2, \qquad 3ab^2 = 3 \cdot x \cdot 9 = 27x.$

Zgadza się, więc

$x^3 + 9x^2 + 27x + 27 = (x + 3)^3.$

Uwaga. Trójmian z różnicy sześcianów ma pojedynczy iloczyn $ab = 10x$, a nie podwojony. Napisanie $4x^2 + 20x + 25$ to typowy błąd - byłby to kwadrat $(2x + 5)^2$, a wtedy iloczyn $(2x - 5)(2x + 5)^2$ wcale nie równa się $8x^3 - 125$.

Odpowiedź. a) $8x^3 - 125 = (2x - 5)(4x^2 + 10x + 25)$; b) $x^3 + 9x^2 + 27x + 27 = (x + 3)^3$ ($-3$ jest pierwiastkiem trzykrotnym).