Rozkład po znalezieniu pierwiastka: 3x³ + 4x² − 13x + 6

Krok 1. Czy działa grupowanie? $x^2(3x + 4) - (13x - 6)$ - w nawiasach są różne wyrażenia, a wzory skróconego mnożenia też nie pasują. Szukamy więc pierwiastka.

Krok 2. Kandydaci na pierwiastki wymierne. $\frac{p}{q}$, gdzie $p$ dzieli $6$, a $q$ dzieli $3$:

$\pm 1,\ \pm 2,\ \pm 3,\ \pm 6,\ \pm \frac{1}{3},\ \pm \frac{2}{3}.$

Krok 3. Najprostszy test - suma współczynników:

$W(1) = 3 + 4 - 13 + 6 = 0.$

Liczba $1$ jest pierwiastkiem, więc z twierdzenia Bézouta $W(x)$ dzieli się przez $(x - 1)$.

Krok 4. Schemat Hornera dla $x = 1$:

Reszta $0$, iloraz $3x^2 + 7x - 6$, czyli $W(x) = (x - 1)(3x^2 + 7x - 6)$.

Krok 5. Rozkład trójmianu:

$\Delta = 7^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-6) = 49 + 72 = 121, \qquad x = \frac{-7 - 11}{6} = -3, \qquad x = \frac{-7 + 11}{6} = \frac{2}{3}.$

$3x^2 + 7x - 6 = 3\left(x - \frac{2}{3}\right)(x + 3) = (3x - 2)(x + 3).$

Uwaga. Współczynnik $3$ przed trójmianem nie może zniknąć - wchłaniamy go do nawiasu z ułamkiem: $3\left(x - \frac{2}{3}\right) = 3x - 2$.

Odpowiedź. $W(x) = (x - 1)(3x - 2)(x + 3)$.