Rozkład na czynniki: wspólny czynnik (4x⁵ − 12x⁴ + 8x³)

Krok 1. Wspólny czynnik liczbowy. Współczynniki $4$, $-12$ i $8$ dzielą się przez $4$.

Krok 2. Wspólna potęga $x$. Każdy wyraz zawiera co najmniej $x^3$ - wyłączamy najniższą potęgę, która występuje we wszystkich wyrazach:

$4x^5 - 12x^4 + 8x^3 = 4x^3(x^2 - 3x + 2).$

Krok 3. Trójmian w nawiasie. Liczymy deltę:

$\Delta = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 9 - 8 = 1, \qquad x_1 = \frac{3 - 1}{2} = 1, \qquad x_2 = \frac{3 + 1}{2} = 2.$

Zatem $x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2)$.

Krok 4. Składamy rozkład:

$W(x) = 4x^3(x - 1)(x - 2).$

Uwaga. Wyłączenie samego $x$ (zamiast $x^3$) albo samej dwójki (zamiast $4$) też jest poprawnym przekształceniem, ale rozkład nie byłby pełny - w nawiasie zostałby wspólny czynnik.

Odpowiedź. $W(x) = 4x^3(x - 1)(x - 2)$. Pierwiastki: $0$ (trzykrotny), $1$ i $2$.