Grupowanie i suma sześcianów: rozkład x⁴ + 2x³ + 27x + 54

Krok 1. Grupowanie. Z pierwszej pary wyłączamy $x^3$, z drugiej $27$:

$W(x) = x^3(x + 2) + 27(x + 2) = (x + 2)(x^3 + 27).$

Krok 2. Suma sześcianów. $x^3 + 27 = x^3 + 3^3$, więc ze wzoru $a^3 + b^3 = (a + b)(a^2 - ab + b^2)$:

$x^3 + 27 = (x + 3)(x^2 - 3x + 9).$

Krok 3. Czy trójmian rozkłada się dalej?

$\Delta = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 9 - 36 = -27 < 0.$

Trójmian $x^2 - 3x + 9$ jest nierozkładalny.

Krok 4. Pełny rozkład:

$W(x) = (x + 2)(x + 3)(x^2 - 3x + 9).$

Uwaga. Wynik $(x + 2)(x^3 + 27)$ z kroku 1 to jeszcze nie koniec: czynnik stopnia trzeciego zawsze się rozkłada. Rozkład jest pełny dopiero wtedy, gdy zostają czynniki liniowe i kwadratowe z $\Delta < 0$.

Sprawdzenie. $W(-2) = 16 - 16 - 54 + 54 = 0$ oraz $W(-3) = 81 - 54 - 81 + 54 = 0$.

Odpowiedź. $W(x) = (x + 2)(x + 3)(x^2 - 3x + 9)$.