Krotność z niedokończonego rozkładu: (x² − 9)(x² + 6x + 9)(2x − 6)

Krok 1. Rozkładamy każdy czynnik do końca. Krotności nie wolno odczytywać z nawiasów, które da się jeszcze rozłożyć. Ze wzorów skróconego mnożenia:

$x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3), \qquad x^2 + 6x + 9 = (x + 3)^2, \qquad 2x - 6 = 2(x - 3).$

Krok 2. Zbieramy jednakowe nawiasy w potęgi.

$W(x) = (x - 3)(x + 3) \cdot (x + 3)^2 \cdot 2(x - 3) = 2(x - 3)^2 (x + 3)^3.$

Krok 3. Odczytujemy krotności. Czynnik $(x - 3)$ występuje w drugiej potędze, a $(x + 3)$ w trzeciej.

Uwaga: „na oko” z zapisu w treści wychodzą błędne krotności - $-3$ wygląda na dwukrotny (bo $(x + 3)^2$), a $3$ na jednokrotny. Jeden czynnik $(x + 3)$ i jeden $(x - 3)$ siedzą w różnicy kwadratów $x^2 - 9$, a drugi $(x - 3)$ w nawiasie $2x - 6$.

Krok 4. Kontrola stopnia. $W$ ma stopień $2 + 2 + 1 = 5$, a suma krotności to $2 + 3 = 5$ - wielomian rozkłada się na same czynniki liniowe, więc obie liczby muszą być równe.

Odpowiedź. $3$ - pierwiastek dwukrotny, $-3$ - pierwiastek trzykrotny; $W(x) = 2(x - 3)^2(x + 3)^3$.