Krotność pierwiastka −1 schematem Hornera: x⁴ + x³ − 3x² − 5x − 2

Szkoła średnia średnie

Sprawdź, że liczba $-1$ jest pierwiastkiem wielomianu $W(x) = x^4 + x^3 - 3x^2 - 5x - 2$ , i wyznacz jej krotność. Rozłóż $W$ na czynniki.

Rozwiązanie

Pokaż rozwiązanie krok po krokuUkryj rozwiązanie

Krok 1. Metoda. Krotność to liczba dzieleń przez $(x + 1)$ z resztą zero. Dzielimy więc schematem Hornera z $a = -1$ , za każdym razem iloraz z poprzedniego wiersza, aż reszta będzie różna od zera.

Krok 2. Kolejne dzielenia. Pierwszy wiersz to współczynniki $W$ , każdy następny dzieli iloraz z wiersza wyżej:

	1	1	−3	−5	−2
−1	1	0	−3	−2	0
−1	1	−1	−2	0
−1	1	−2	0
−1	1	−3

Krok 3. Odczyt. Pierwsze dzielenie (reszta $0$ ) potwierdza, że $-1$ jest pierwiastkiem. Ilorazy kolejnych dzieleń to:

$x^3 - 3x - 2, \qquad x^2 - x - 2, \qquad x - 2.$

Trzy reszty są zerami, a czwarta wynosi $-3 \neq 0$ - bo $-1$ nie jest pierwiastkiem dwumianu $x - 2$ . Zatem $W$ dzieli się przez $(x + 1)^3$ , ale nie przez $(x + 1)^4$ .

Uwaga: pierwsza reszta zero mówi tylko, że $-1$ jest pierwiastkiem. Kto przerwie w tym miejscu, nie pozna krotności.

Krok 4. Rozkład.

$W(x) = (x + 1)^3 (x - 2).$

Sprawdzenie. $(x + 1)^3 = x^3 + 3x^2 + 3x + 1$ , a

$(x^3 + 3x^2 + 3x + 1)(x - 2) = x^4 + x^3 - 3x^2 - 5x - 2.$

Odpowiedź. $-1$ jest pierwiastkiem trzykrotnym, $W(x) = (x + 1)^3(x - 2)$ (a $2$ to pierwiastek jednokrotny).

Przypomnij sobie teorię: powtórka do tego zadania →