Parametry a i b: wielomian x⁴ + ax + b podzielny przez (x − 1)²

Krok 1. Co oznacza warunek. Podzielność przez $(x - 1)^2$ oznacza, że $1$ jest pierwiastkiem co najmniej dwukrotnym: $W$ dzieli się przez $x - 1$, a otrzymany iloraz jeszcze raz dzieli się przez $x - 1$.

Krok 2. Pierwsze dzielenie - Horner z literami. Brakuje potęg $x^3$ i $x^2$, więc współczynniki to $1,\ 0,\ 0,\ a,\ b$:

Pierwszy wiersz daje resztę $a + b + 1$ i iloraz $Q(x) = x^3 + x^2 + x + (a + 1)$.

Krok 3. Drugie dzielenie. Drugi wiersz dzieli $Q$ przez $x - 1$: reszta wynosi $Q(1) = 1 + 1 + 1 + a + 1 = a + 4$.

Krok 4. Obie reszty muszą być zerami.

$\begin{cases} a + b + 1 = 0 \\ a + 4 = 0 \end{cases} \quad\Longrightarrow\quad a = -4, \quad b = 3.$

Krok 5. Rozkład i krotność. Dla $a = -4$ iloraz z drugiego dzielenia ma współczynniki $1,\ 2,\ 3$, więc

$W(x) = x^4 - 4x + 3 = (x - 1)^2(x^2 + 2x + 3).$

Czynnik $x^2 + 2x + 3$ ma $\Delta = 4 - 12 = -8 < 0$. Nie ma więc pierwiastków - w szczególności $1$ nie jest jego pierwiastkiem (wartość w $1$ to $6$), zatem $1$ jest pierwiastkiem dokładnie dwukrotnym.

Sprawdzenie. $(x^2 - 2x + 1)(x^2 + 2x + 3) = x^4 + 2x^3 + 3x^2 - 2x^3 - 4x^2 - 6x + x^2 + 2x + 3 = x^4 - 4x + 3$.

Odpowiedź. $a = -4$, $b = 3$. Liczba $1$ jest wtedy pierwiastkiem dwukrotnym i jedynym pierwiastkiem rzeczywistym wielomianu $W(x) = (x - 1)^2(x^2 + 2x + 3)$.