Wielomian stopnia 3 z pierwiastkiem dwukrotnym 2, jednokrotnym −1 i W(0) = 12

Krok 1. Postać iloczynowa. Pierwiastek dwukrotny $2$ daje czynnik $(x - 2)^2$, a pierwiastek jednokrotny $-1$ - czynnik $(x + 1)$. Razem to już stopień $2 + 1 = 3$, więc innych czynników z $x$ nie ma - zostaje tylko stała $a \neq 0$:

$W(x) = a(x - 2)^2(x + 1).$

Uwaga: o stałej $a$ łatwo zapomnieć. Pierwiastki i krotności nie wyznaczają wielomianu jednoznacznie - $(x - 2)^2(x + 1)$ i $5(x - 2)^2(x + 1)$ mają te same pierwiastki. Stałą ustala dopiero warunek $W(0) = 12$.

Krok 2. Warunek $W(0) = 12$.

$W(0) = a \cdot (0 - 2)^2 \cdot (0 + 1) = 4a = 12 \quad\Longrightarrow\quad a = 3.$

Krok 3. Postać ogólna. Najpierw $(x - 2)^2 = x^2 - 4x + 4$, potem

$(x^2 - 4x + 4)(x + 1) = x^3 + x^2 - 4x^2 - 4x + 4x + 4 = x^3 - 3x^2 + 4,$

$W(x) = 3(x^3 - 3x^2 + 4) = 3x^3 - 9x^2 + 12.$

Krok 4. Sprawdzenie. $W(0) = 12$, $\ W(-1) = -3 - 9 + 12 = 0$, $\ W(2) = 24 - 36 + 12 = 0$. Dwukrotność pierwiastka $2$ widać na wykresie: w punkcie $2$ wykres tylko dotyka osi $OX$ i odbija się od niej, a w jednokrotnym $-1$ ją przecina.

Odpowiedź. $W(x) = 3(x - 2)^2(x + 1) = 3x^3 - 9x^2 + 12$.