Krotność pierwiastków z postaci iloczynowej: 5x(x − 1)²(x + 4)³(x² + 3)

Krok 1. Krotność to wykładnik czynnika liniowego. Pierwiastek $a$ ma krotność $k$, gdy w rozkładzie występuje czynnik $(x - a)^k$. Przechodzimy przez kolejne czynniki.

Krok 2. Czynniki liniowe.

• $x = (x - 0)^1$ - liczba $0$ jest pierwiastkiem jednokrotnym;
• $(x - 1)^2$ - liczba $1$ jest pierwiastkiem dwukrotnym;
• $(x + 4)^3 = \big(x - (-4)\big)^3$ - liczba $-4$ jest pierwiastkiem trzykrotnym.

Uwaga: czynnik $(x + 4)^3$ daje pierwiastek $-4$, a nie $4$. Stała $5$ przed iloczynem nie jest pierwiastkiem i nie wpływa na krotności.

Krok 3. Czynnik kwadratowy. $x^2 + 3 \geq 3 > 0$ dla każdego $x$ (także $\Delta = -12 < 0$), więc ten czynnik nie daje pierwiastków.

Krok 4. Stopień i suma krotności. Stopień to suma stopni czynników:

$1 + 2 + 3 + 2 = 8.$

Suma krotności pierwiastków to $1 + 2 + 3 = 6$. Brakujące $2$ „zabiera” czynnik $x^2 + 3$, który ma stopień $2$, ale nie ma pierwiastków rzeczywistych.

Odpowiedź. $-4$ - pierwiastek trzykrotny, $0$ - jednokrotny, $1$ - dwukrotny. Stopień wielomianu to $8$, suma krotności pierwiastków to $6$.