Pierwiastek trzykrotny: wyznacz a, b, c w W(x) = x⁴ + ax³ + bx² + cx − 2

Krok 1. Postać wielomianu. Skoro $1$ jest pierwiastkiem trzykrotnym, $W$ dzieli się przez $(x - 1)^3$. Stopień ilorazu to $4 - 3 = 1$, a współczynnik przy $x^4$ wynosi $1$, więc

$W(x) = (x - 1)^3 (x - d)$

dla pewnej liczby $d$. Zamiast trzech niewiadomych $a$, $b$, $c$ mamy jedną.

Krok 2. Wyraz wolny wyznacza $d$. Wyraz wolny iloczynu to iloczyn wyrazów wolnych czynników:

$(-1)^3 \cdot (-d) = d.$

W treści wyraz wolny to $-2$, więc $d = -2$ i $W(x) = (x - 1)^3(x + 2)$.

Krok 3. Wymnażamy. $(x - 1)^3 = x^3 - 3x^2 + 3x - 1$, a

$(x^3 - 3x^2 + 3x - 1)(x + 2) = x^4 + 2x^3 - 3x^3 - 6x^2 + 3x^2 + 6x - x - 2 = x^4 - x^3 - 3x^2 + 5x - 2.$

Porównujemy z $x^4 + ax^3 + bx^2 + cx - 2$: $\ a = -1$, $b = -3$, $c = 5$.

Krok 4. Krotność jest dokładnie trzy. Czynnik $x + 2$ nie zeruje się w $1$, więc $W$ nie dzieli się przez $(x - 1)^4$. Kontrola schematem Hornera - trzy dzielenia z resztą zero, czwarte już nie:

Krok 5. Czy możliwa jest krotność cztery? Wtedy $W(x) = (x - 1)^4$, a ten wielomian ma wyraz wolny $(-1)^4 = 1$, nie $-2$. Żaden wybór $a$, $b$, $c$ tego nie zmieni, bo wyraz wolny jest w treści ustalony.

Uwaga: przy wyrazie wolnym łatwo zgubić znak. $(-1)^3 = -1$, a $-1 \cdot (-d) = d$ - stąd $d = -2$, a nie $2$. Zawsze warto sprawdzić wynik, podstawiając $x = 0$: $W(0) = (-1)^3 \cdot 2 = -2$.

Odpowiedź. $a = -1$, $b = -3$, $c = 5$; $\ W(x) = (x - 1)^3(x + 2)$, pozostały pierwiastek to $-2$. Pierwiastkiem czterokrotnym $1$ być nie może, bo $(x - 1)^4$ ma wyraz wolny $1 \neq -2$.