Dla jakich m wielomian x³ + 3x² − 9x + m ma pierwiastek dwukrotny?

Krok 1. Postać wielomianu z pierwiastkiem dwukrotnym. Wielomian stopnia $3$ ze współczynnikiem $1$ przy $x^3$, który ma pierwiastek dwukrotny $a$, dzieli się przez $(x - a)^2$, a iloraz jest liniowy:

$W(x) = (x - a)^2 (x - b), \qquad b \neq a.$

(Warunek $b \neq a$ wyklucza pierwiastek trzykrotny.)

Krok 2. Wymnażamy.

$(x - a)^2(x - b) = (x^2 - 2ax + a^2)(x - b) = x^3 - (2a + b)x^2 + (a^2 + 2ab)x - a^2 b.$

Krok 3. Porównujemy współczynniki z $x^3 + 3x^2 - 9x + m$ (równość wielomianów):

$-(2a + b) = 3, \qquad a^2 + 2ab = -9, \qquad -a^2 b = m.$

Krok 4. Rozwiązujemy. Z pierwszego równania $b = -3 - 2a$. Wstawiamy do drugiego:

$a^2 + 2a(-3 - 2a) = -9 \quad\Longrightarrow\quad -3a^2 - 6a + 9 = 0 \quad\Longrightarrow\quad a^2 + 2a - 3 = 0.$

Stąd $(a - 1)(a + 3) = 0$, czyli $a = 1$ albo $a = -3$.

Krok 5. Dwa przypadki.

• $a = 1$: $\ b = -3 - 2 = -5$, $\ m = -a^2 b = -1 \cdot (-5) = 5$. Wtedy $W(x) = x^3 + 3x^2 - 9x + 5 = (x - 1)^2(x + 5)$.
• $a = -3$: $\ b = -3 + 6 = 3$, $\ m = -a^2 b = -9 \cdot 3 = -27$. Wtedy $W(x) = x^3 + 3x^2 - 9x - 27 = (x + 3)^2(x - 3)$.

W obu przypadkach $b \neq a$, więc pierwiastek jest dokładnie dwukrotny.

Krok 6. Sprawdzenie drugiego przypadku.

$(x^2 + 6x + 9)(x - 3) = x^3 - 3x^2 + 6x^2 - 18x + 9x - 27 = x^3 + 3x^2 - 9x - 27.$

Uwaga: dla $m = -27$ łatwo przeoczyć, że rozkład wychodzi też grupowaniem: $x^2(x + 3) - 9(x + 3) = (x + 3)(x - 3)(x + 3)$ - to dobra kontrola wyniku.

Odpowiedź. $m = 5$ (wtedy $W(x) = (x - 1)^2(x + 5)$, pierwiastek dwukrotny $1$) albo $m = -27$ (wtedy $W(x) = (x + 3)^2(x - 3)$, pierwiastek dwukrotny $-3$).