Wyznacz czas połowicznego rozpadu: z 200 mg po 15 godzinach zostało 25 mg

Krok 1. Model. Jeśli $T$ to czas połowicznego rozpadu, to

$m(t) = 200 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{T}}$

Krok 2. Równanie na $T$. Podstawiamy $m(15) = 25$:

$200 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{15}{T}} = 25 \quad\Longrightarrow\quad \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{15}{T}} = \frac{1}{8} = \left(\frac{1}{2}\right)^{3}$

Funkcja wykładnicza jest różnowartościowa, więc wykładniki są równe:

$\frac{15}{T} = 3 \quad\Longrightarrow\quad T = 5$

Krok 3. Masa po 20 godzinach. To $\frac{20}{5} = 4$ okresy:

$m(20) = 200 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{4} = \frac{200}{16} = 12{,}5$

Krok 4. Kiedy zostanie 1 mg.

$200 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{5}} = 1 \quad\Longrightarrow\quad 2^{\frac{t}{5}} = 200 \quad\Longrightarrow\quad \frac{t}{5} = \log_2 200$

$t = 5\log_2 200 = 5 \cdot \frac{\log 200}{\log 2} \approx 5 \cdot 7{,}644 \approx 38{,}2$

Odpowiedź. a) $T = 5$ godzin. b) $12{,}5$ mg. c) Po około $38{,}2$ godzinach.