Utrata wartości laptopa o 25% rocznie: wartość po 3 latach i kiedy spadnie poniżej 1000 zł

Krok 1. Wzór. Spadek o $25\%$ oznacza, że zostaje $75\%$ wartości - co roku mnożymy przez $0{,}75$:

$W(n) = 4800 \cdot 0{,}75^{n}$

To funkcja wykładnicza o podstawie mniejszej od $1$, więc wartość maleje.

Krok 2. Po 3 latach.

$W(3) = 4800 \cdot 0{,}75^{3} = 4800 \cdot 0{,}421875 = 2025$

Uwaga: to nie jest $4800 - 3 \cdot 25\% \cdot 4800 = 1200$ zł. Każdy procent liczymy od wartości z początku danego roku, a nie od ceny zakupu.

Krok 3. Nierówność.

$4800 \cdot 0{,}75^{n} < 1000 \quad\Longrightarrow\quad 0{,}75^{n} < \frac{5}{24}$

Krok 4. Logarytmujemy. $\log 0{,}75 < 0$, więc przy dzieleniu przez tę liczbę zmieniamy zwrot nierówności:

$n \cdot \log 0{,}75 < \log \frac{5}{24} \quad\Longrightarrow\quad n > \frac{\log \frac{5}{24}}{\log 0{,}75} \approx \frac{-0{,}6812}{-0{,}1249} \approx 5{,}45$

Krok 5. Sprawdzenie. $W(5) = 4800 \cdot 0{,}75^5 \approx 1139{,}06$ zł - jeszcze powyżej $1000$ zł; $W(6) \approx 854{,}30$ zł - już poniżej.

Odpowiedź. a) $W(n) = 4800 \cdot 0{,}75^n$, po $3$ latach $2025$ zł. b) Po $6$ latach.