Datowanie węglem C-14: ile lat ma kość, w której zostało 30% węgla-14?

Krok 1. Model. Jeśli $m_0$ to początkowa ilość węgla-14, to po $t$ latach zostaje

$m(t) = m_0 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{5730}}$

Krok 2. Równanie. Zostało $30\%$, czyli $m(t) = 0{,}3\,m_0$. Dzielimy przez $m_0$ - ilość początkowa nie jest potrzebna:

$\left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{5730}} = 0{,}3$

Krok 3. Logarytmujemy. Liczby $0{,}3$ nie zapiszemy jako potęgi $\frac{1}{2}$, więc logarytmujemy obie strony (logarytm dziesiętny):

$\frac{t}{5730} \cdot \log 0{,}5 = \log 0{,}3 \quad\Longrightarrow\quad t = 5730 \cdot \frac{\log 0{,}3}{\log 0{,}5}$

Krok 4. Obliczenia. $\log 0{,}3 \approx -0{,}5229$, $\log 0{,}5 \approx -0{,}3010$, więc

$t \approx 5730 \cdot 1{,}737 \approx 9953$

Krok 5. Szacunek kontrolny. Po $5730$ latach zostałoby $50\%$, po $11\,460$ latach $25\%$. Wynik $30\%$ leży między nimi, bliżej $25\%$ - i rzeczywiście $9953$ lat jest bliżej $11\,460$ niż $5730$.

Odpowiedź. Kość ma około $9950$ lat (w przybliżeniu $10$ tysięcy lat).