Czas połowicznego rozpadu: ile zostanie 80 g jodu-131 po 24 i 40 dniach

Krok 1. Wzór. Co $8$ dni masa maleje o połowę. Po $t$ dniach minęło $\frac{t}{8}$ okresów połowicznego rozpadu, więc masę mnożymy przez $\frac{1}{2}$ tyle razy:

$m(t) = 80 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{t}{8}}$

Krok 2. Po 24 dniach. To $\frac{24}{8} = 3$ okresy:

$m(24) = 80 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{3} = \frac{80}{8} = 10$

Zostaje $10$ g, czyli $\frac{1}{8}$ próbki - tak jest zawsze po trzech okresach połowicznego rozpadu.

Krok 3. Po 40 dniach. To $5$ okresów:

$m(40) = 80 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{5} = \frac{80}{32} = 2{,}5$

Krok 4. Po 4 dniach. To pół okresu - wykładnik nie jest liczbą całkowitą:

$m(4) = 80 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{\frac{1}{2}} = \frac{80}{\sqrt{2}} = 40\sqrt{2} \approx 56{,}6$

Po połowie okresu nie ubywa połowa z $40$ g, czyli $20$ g (wtedy zostałoby $60$ g), tylko więcej - około $23{,}4$ g. W modelu wykładniczym masa nie maleje liniowo.

Odpowiedź. a) $m(t) = 80 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{t/8}$. b) Po $24$ dniach $10$ g, po $40$ dniach $2{,}5$ g. c) $40\sqrt{2} \approx 56{,}6$ g.