Lek w organizmie: dawka 400 mg co 12 godzin, a co 6 godzin ubywa połowy

Krok 1. Jedna dawka. Doba to $24 : 6 = 4$ okresy półtrwania:

$400 \cdot \left(\frac{1}{2}\right)^{4} = 25$

Krok 2. Co zostaje po 12 godzinach. Dwanaście godzin to dwa okresy półtrwania, więc z każdej ilości zostaje

$\left(\frac{1}{2}\right)^{2} = \frac{1}{4}$

Krok 3. Kolejne dawki. Tuż przed nową dawką zostaje $\frac{1}{4}$ poprzedniej ilości, a potem dochodzi $400$ mg:

• po 1. dawce: $400$ mg;
• po 2. dawce: $\frac{1}{4} \cdot 400 + 400 = 500$ mg;
• po 3. dawce: $\frac{1}{4} \cdot 500 + 400 = 525$ mg;
• po 4. dawce: $\frac{1}{4} \cdot 525 + 400 = 531{,}25$ mg.

Krok 4. Zapis jako suma. Po $n$-tej dawce w organizmie jest suma „resztek” wszystkich dawek:

$A_n = 400 + 400 \cdot \frac{1}{4} + 400 \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^{2} + \ldots + 400 \cdot \left(\frac{1}{4}\right)^{n - 1}$

To suma ciągu geometrycznego o ilorazie $\frac{1}{4}$. Przy długiej kuracji zbliża się do sumy szeregu geometrycznego:

$\lim_{n \to \infty} A_n = \frac{400}{1 - \frac{1}{4}} = \frac{1600}{3} \approx 533{,}3$

Odpowiedź. a) $25$ mg. b) $500$ mg, $525$ mg i $531{,}25$ mg. c) Do $\frac{1600}{3} \approx 533{,}3$ mg - poziomu, którego ilość leku tuż po dawce nigdy nie przekroczy.