Stygnięcie kawy T(t) = 20 + 70 · 0,9ᵗ: po ilu minutach temperatura spadnie do 50°C?

Krok 1. Temperatura początkowa i po 10 minutach.

$T(0) = 20 + 70 \cdot 1 = 90, \qquad T(10) = 20 + 70 \cdot 0{,}9^{10} \approx 20 + 70 \cdot 0{,}3487 \approx 44{,}4$

Krok 2. Równanie $T(t) = 50$.

$20 + 70 \cdot 0{,}9^{t} = 50 \quad\Longrightarrow\quad 0{,}9^{t} = \frac{30}{70} = \frac{3}{7}$

Krok 3. Logarytmujemy.

$t = \frac{\log \frac{3}{7}}{\log 0{,}9} \approx \frac{-0{,}36798}{-0{,}045757} \approx 8{,}04$

Sprawdzenie: $T(8) \approx 50{,}13$ i $T(9) \approx 47{,}1$, więc $50°\text{C}$ jest osiągane między ósmą a dziewiątą minutą, tuż po upływie ośmiu minut.

Krok 4. Czy może być 15°C? Wyrażenie $70 \cdot 0{,}9^t$ jest zawsze dodatnie, więc $T(t) > 20$ dla każdego $t$. Prosta $T = 20$ jest asymptotą poziomą wykresu: kawa zbliża się do temperatury pokoju, ale nigdy nie spada poniżej niej.

Odpowiedź. a) $90°\text{C}$ i około $44{,}4°\text{C}$. b) Po około $8{,}04$ minuty. c) Nie - w tym modelu temperatura kawy jest zawsze wyższa niż $20°\text{C}$.

Taki model to prawo stygnięcia Newtona: różnica temperatur między ciałem a otoczeniem maleje wykładniczo (tu co minutę o $10\%$).