Wzrost populacji o 2,5% rocznie: po ilu latach liczba mieszkańców się podwoi?

Krok 1. Wzór. Wzrost o $2{,}5\%$ to mnożenie przez $1{,}025$ co rok:

$L(n) = 40\,000 \cdot 1{,}025^{n}$

Krok 2. Po 10 latach.

$L(10) = 40\,000 \cdot 1{,}025^{10} \approx 40\,000 \cdot 1{,}28008 \approx 51\,203$

Krok 3. Nierówność podwojenia. Szukamy najmniejszego naturalnego $n$, dla którego $40\,000 \cdot 1{,}025^n > 80\,000$, czyli

$1{,}025^{n} > 2$

Krok 4. Logarytmujemy. Logarytm dziesiętny jest funkcją rosnącą, więc zwrot nierówności zostaje:

$n \cdot \log 1{,}025 > \log 2 \quad\Longrightarrow\quad n > \frac{\log 2}{\log 1{,}025} \approx \frac{0{,}30103}{0{,}010724} \approx 28{,}07$

Krok 5. Sprawdzenie sąsiednich wartości. Wynik $28{,}07$ zaokrąglamy w górę, bo po $28$ latach jeszcze brakuje:

$1{,}025^{28} \approx 1{,}996 < 2, \qquad 1{,}025^{29} \approx 2{,}046 > 2$

Odpowiedź. a) $L(n) = 40\,000 \cdot 1{,}025^n$, po $10$ latach około $51\,203$ mieszkańców. b) Po $29$ latach.

Ciekawostka: szybki szacunek daje „reguła 70” - czas podwojenia to w przybliżeniu $70 : p$ lat, tu $70 : 2{,}5 = 28$.