Punkty wspólne paraboli y = x² − 4x + 1 i prostej y = 2x − 4

Krok 1. Przyrównujemy prawe strony. W punkcie wspólnym oba równania dają tę samą wartość $y$:

$$x^2 - 4x + 1 = 2x - 4 \quad\Longrightarrow\quad x^2 - 6x + 5 = 0.$$

Krok 2. Rozwiązujemy równanie kwadratowe. $\Delta = 36 - 20 = 16$, $\sqrt{\Delta} = 4$:

$$x_1 = \frac{6 - 4}{2} = 1, \qquad x_2 = \frac{6 + 4}{2} = 5.$$

Krok 3. Drugie współrzędne liczymy z równania prostej. $y_1 = 2 \cdot 1 - 4 = -2$, $y_2 = 2 \cdot 5 - 4 = 6$. Kontrola w równaniu paraboli: $1 - 4 + 1 = -2$ oraz $25 - 20 + 1 = 6$.

Krok 4. Prosta pionowa. Prostej $x = 3$ nie zapiszemy w postaci $y = mx + k$, więc nie ma czego przyrównywać - wstawiamy $x = 3$ do równania paraboli: $y = 9 - 12 + 1 = -2$. Jest dokładnie jeden punkt wspólny: $(3, -2)$.

Uwaga: jeden punkt wspólny nie oznacza tu styczności. Prosta pionowa przecina parabolę na wylot - na lewo od niej parabola biegnie po jednej stronie, na prawo po drugiej. Warunek „$\Delta = 0$, więc prosta jest styczna” dotyczy tylko prostych $y = mx + k$.

Odpowiedź. Parabola i prosta $y = 2x - 4$ mają dwa punkty wspólne: $(1, -2)$ i $(5, 6)$. Z prostą $x = 3$ parabola ma jeden punkt wspólny $(3, -2)$, ale ta prosta nie jest styczną.