Liczba punktów wspólnych paraboli y = x² − x + m i prostej y = 3x − 2 w zależności od m

Krok 1. Przyrównujemy prawe strony.

$$x^2 - x + m = 3x - 2 \quad\Longrightarrow\quad x^2 - 4x + m + 2 = 0.$$

Każde rozwiązanie tego równania to pierwsza współrzędna jednego punktu wspólnego, więc punktów jest tyle, ile rozwiązań.

Krok 2. Wyróżnik zależny od $m$.

$$\Delta = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (m + 2) = 16 - 4m - 8 = 8 - 4m.$$

Krok 3. Znak wyróżnika.

• $\Delta > 0 \iff 8 - 4m > 0 \iff m < 2$ - dwa punkty wspólne;
• $\Delta = 0 \iff m = 2$ - jeden punkt wspólny (prosta jest styczna do paraboli);
• $\Delta < 0 \iff m > 2$ - brak punktów wspólnych.

Krok 4. Punkt styczności dla $m = 2$. Równanie przyjmuje postać $x^2 - 4x + 4 = 0$, czyli $(x - 2)^2 = 0$, więc $x = 2$ i $y = 3 \cdot 2 - 2 = 4$. Kontrola w paraboli $y = x^2 - x + 2$: $4 - 2 + 2 = 4$.

Krok 5. Interpretacja. Zmiana $m$ przesuwa parabolę w pionie, bez zmiany kształtu. Im wyżej parabola (większe $m$), tym trudniej jej spotkać prostą: przy $m = 2$ tylko jej dotyka, a dla $m > 2$ leży cała nad prostą.

Odpowiedź. Dla $m \in (-\infty, 2)$ są dwa punkty wspólne, dla $m = 2$ jeden - punkt $(2, 4)$, w którym prosta jest styczna do paraboli - a dla $m \in (2, \infty)$ nie ma punktów wspólnych.