Długość i środek cięciwy paraboli y = ½x² wyciętej przez prostą y = x + 4

Krok 1. Przyrównujemy prawe strony i mnożymy przez 2.

$$\frac{1}{2}x^2 = x + 4 \quad\Longrightarrow\quad x^2 - 2x - 8 = 0.$$

Krok 2. Rozwiązujemy równanie. $\Delta = 4 + 32 = 36$, $\sqrt{\Delta} = 6$:

$$x_1 = \frac{2 - 6}{2} = -2, \qquad x_2 = \frac{2 + 6}{2} = 4.$$

Krok 3. Końce cięciwy. Z równania prostej $y_1 = -2 + 4 = 2$ i $y_2 = 4 + 4 = 8$, więc $A = (-2, 2)$, $B = (4, 8)$. Kontrola w równaniu paraboli: $\frac{1}{2} \cdot 4 = 2$ oraz $\frac{1}{2} \cdot 16 = 8$.

Krok 4. Długość cięciwy.

$$|AB| = \sqrt{(4 - (-2))^2 + (8 - 2)^2} = \sqrt{36 + 36} = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}.$$

Krok 5. Środek cięciwy.

$$M = \left(\frac{-2 + 4}{2}, \frac{2 + 8}{2}\right) = (1, 5).$$

Skrót: pierwsza współrzędna środka to średnia pierwiastków, a ze wzorów Viète’a $x_1 + x_2 = 2$, więc $x_M = 1$ bez rozwiązywania równania. Środek leży na prostej, stąd $y_M = 1 + 4 = 5$.

Uwaga: środek cięciwy leży na prostej, ale nie na paraboli - dla $x = 1$ parabola ma $y = \frac{1}{2} \ne 5$.

Odpowiedź. $|AB| = 6\sqrt{2} \approx 8{,}49$, środek cięciwy $M = (1, 5)$.