Punkty wspólne dwóch parabol y = x² − 3 i y = −x² + 2x + 1 oraz pole trójkąta

Krok 1. Przyrównujemy prawe strony. Obie parabole to wykresy funkcji, więc w punkcie wspólnym mają równe wartości:

$$x^2 - 3 = -x^2 + 2x + 1 \quad\Longrightarrow\quad 2x^2 - 2x - 4 = 0 \quad\Longrightarrow\quad x^2 - x - 2 = 0.$$

Krok 2. Rozwiązujemy równanie. $\Delta = 1 + 8 = 9$, więc $x_1 = \frac{1 - 3}{2} = -1$, $x_2 = \frac{1 + 3}{2} = 2$.

Krok 3. Punkty wspólne. Z pierwszej paraboli $y = (-1)^2 - 3 = -2$ i $y = 2^2 - 3 = 1$, czyli $A = (-1, -2)$, $B = (2, 1)$. Kontrola w drugiej: $-1 - 2 + 1 = -2$ oraz $-4 + 4 + 1 = 1$.

Krok 4. Prosta $AB$. Współczynnik kierunkowy $a = \frac{1 - (-2)}{2 - (-1)} = 1$, więc $y = x + b$, a z punktu $B$: $1 = 2 + b$, $b = -1$. Prosta $AB$: $y = x - 1$.

Szybciej: po dodaniu równań parabol stronami wyrazy $x^2$ się redukują, $2y = 2x - 2$, czyli $y = x - 1$. Ta prosta przechodzi przez każdy punkt wspólny parabol - tak samo jak przy odejmowaniu równań dwóch okręgów.

Krok 5. Wysokość trójkąta. Wierzchołek paraboli $y = x^2 - 3$ to $W = (0, -3)$. Jego odległość od prostej $x - y - 1 = 0$:

$$h = \frac{|0 - (-3) - 1|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}.$$

Krok 6. Podstawa i pole. $|AB| = \sqrt{3^2 + 3^2} = 3\sqrt{2}$, więc

$$P = \frac{1}{2} \cdot |AB| \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 3\sqrt{2} \cdot \sqrt{2} = 3.$$

Krok 7. Kontrola wzorem ze współrzędnych wierzchołków. Dla $\overrightarrow{AB} = [3, 3]$ i $\overrightarrow{AW} = [1, -1]$:

$$P = \frac{1}{2}\left|3 \cdot (-1) - 3 \cdot 1\right| = \frac{1}{2} \cdot 6 = 3.$$

Odpowiedź. $A = (-1, -2)$, $B = (2, 1)$, prosta $AB$: $y = x - 1$, pole trójkąta $ABW$ jest równe $3$.