Styczna do paraboli y = x² + 2x − 3 równoległa i prostopadła do danej prostej

Krok 1. a) Postać szukanej prostej. Prosta równoległa do $y = 4x + 1$ ma ten sam współczynnik kierunkowy, więc szukamy jej w postaci $y = 4x + k$.

Krok 2. Przyrównujemy prawe strony.

$$x^2 + 2x - 3 = 4x + k \quad\Longrightarrow\quad x^2 - 2x - 3 - k = 0.$$

Krok 3. Warunek styczności $\Delta = 0$. Prosta ma z parabolą dokładnie jeden punkt wspólny:

$$\Delta = 4 - 4(-3 - k) = 16 + 4k = 0 \quad\Longrightarrow\quad k = -4.$$

Krok 4. Punkt styczności. Dla $k = -4$ równanie to $x^2 - 2x + 1 = 0$, czyli $(x - 1)^2 = 0$, $x = 1$, a $y = 4 \cdot 1 - 4 = 0$. Kontrola w paraboli: $1 + 2 - 3 = 0$.

Krok 5. b) Współczynnik kierunkowy prostopadłej. Z $x - 2y + 6 = 0$ mamy $y = \frac{1}{2}x + 3$. Prosta prostopadła ma współczynnik $a$ spełniający $\frac{1}{2} \cdot a = -1$, czyli $a = -2$. Szukamy więc prostej $y = -2x + k$.

Krok 6. Przyrównanie i $\Delta = 0$.

$$x^2 + 2x - 3 = -2x + k \quad\Longrightarrow\quad x^2 + 4x - 3 - k = 0, \qquad \Delta = 16 + 4(3 + k) = 28 + 4k.$$

$\Delta = 0$ daje $k = -7$. Wtedy $x^2 + 4x + 4 = 0$, $x = -2$, a $y = -2 \cdot (-2) - 7 = -3$. Kontrola w paraboli: $4 - 4 - 3 = -3$.

Uwaga: warunek $\Delta = 0$ działa tu dlatego, że po przyrównaniu zostało równanie kwadratowe z jedną niewiadomą, a szukana prosta nie jest pionowa. Pochodna nie jest potrzebna.

Odpowiedź. a) $y = 4x - 4$, punkt styczności $(1, 0)$; b) $y = -2x - 7$, punkt styczności $(-2, -3)$.