Styczne do paraboli y = x² przechodzące przez punkt P = (1, −3)

Krok 1. Punkt nie leży na paraboli. Dla $x = 1$ parabola ma $y = 1 \ne -3$, więc $P$ leży poza nią (pod nią) i można się spodziewać dwóch stycznych.

Krok 2. Proste przez $P$. Każda niepionowa prosta przez $P$ ma postać

$$y = m(x - 1) - 3, \quad\text{czyli}\quad y = mx - m - 3.$$

Prosta pionowa $x = 1$ ma z parabolą jeden punkt wspólny $(1, 1)$, ale przecina ją na wylot - nie jest styczną, więc ją pomijamy.

Krok 3. Przyrównujemy i liczymy wyróżnik.

$$x^2 = mx - m - 3 \quad\Longrightarrow\quad x^2 - mx + m + 3 = 0, \qquad \Delta = m^2 - 4(m + 3) = m^2 - 4m - 12.$$

Krok 4. Warunek styczności $\Delta = 0$ to równanie kwadratowe z niewiadomą $m$:

$$m^2 - 4m - 12 = 0, \qquad \Delta_m = 16 + 48 = 64, \qquad m_1 = \frac{4 - 8}{2} = -2, \quad m_2 = \frac{4 + 8}{2} = 6.$$

Krok 5. Pierwsza styczna, $m = 6$. Prosta $y = 6x - 9$. Równanie z kroku 3: $x^2 - 6x + 9 = 0$, czyli $(x - 3)^2 = 0$, $x = 3$, $y = 9$. Punkt styczności $(3, 9)$.

Krok 6. Druga styczna, $m = -2$. Prosta $y = -2x - 1$. Równanie: $x^2 + 2x + 1 = 0$, czyli $(x + 1)^2 = 0$, $x = -1$, $y = 1$. Punkt styczności $(-1, 1)$.

Krok 7. Kontrola. Obie proste przechodzą przez $P$: $6 \cdot 1 - 9 = -3$ i $-2 \cdot 1 - 1 = -3$.

Uwaga: tu są dwa poziomy rachunku - najpierw równanie z niewiadomą $x$ (punkty wspólne), potem równanie $\Delta = 0$ z niewiadomą $m$. Nie myl ich wyróżników.

Odpowiedź. Są dwie styczne: $y = 6x - 9$ (punkt styczności $(3, 9)$) oraz $y = -2x - 1$ (punkt styczności $(-1, 1)$).