Punkty wspólne okręgu x² + y² = r² i paraboli y = x² − 4 - kiedy są cztery

Krok 1. a) Podstawiamy $x^2$, nie $y$. Z równania paraboli $x^2 = y + 4$. Wstawiamy to do równania okręgu (zamiast podnosić $x^2 - 4$ do kwadratu):

$$y + 4 + y^2 = 16 \quad\Longrightarrow\quad y^2 + y - 12 = 0.$$

Krok 2. Rozwiązujemy względem $y$. $\Delta = 1 + 48 = 49$, więc $y_1 = \frac{-1 - 7}{2} = -4$, $y_2 = \frac{-1 + 7}{2} = 3$.

Krok 3. Wracamy do $x$. Dla $y = 3$: $x^2 = 7$, czyli $x = -\sqrt{7}$ lub $x = \sqrt{7}$ - dwa punkty. Dla $y = -4$: $x^2 = 0$, czyli $x = 0$ - jeden punkt. Kontrola w równaniu okręgu: $7 + 9 = 16$ oraz $0 + 16 = 16$.

Krok 4. b) Równanie pomocnicze dla dowolnego $r$. To samo podstawienie daje

$$y^2 + y + 4 - r^2 = 0. \qquad (*)$$

Uwaga, tu jest sedno zadania: rozwiązanie $y$ równania $(*)$ daje punkty wspólne tylko wtedy, gdy $x^2 = y + 4 \ge 0$. Pierwiastek $y > -4$ daje dwa punkty ($x = \pm\sqrt{y + 4}$), pierwiastek $y = -4$ - jeden punkt $(0, -4)$, a pierwiastek $y < -4$ - żadnego.

Krok 5. Warunki na cztery punkty. Równanie $(*)$ musi mieć dwa różne pierwiastki, oba większe od $-4$. Dla $f(y) = y^2 + y + 4 - r^2$ (ramiona w górę) oznacza to:

• $\Delta = 1 - 4(4 - r^2) = 4r^2 - 15 > 0$, czyli $r^2 > \frac{15}{4}$, $r > \frac{\sqrt{15}}{2}$;
• wierzchołek na prawo od $-4$: $y_w = -\frac{1}{2} > -4$ - zawsze spełnione;
• $f(-4) > 0$: $16 - 4 + 4 - r^2 = 16 - r^2 > 0$, czyli $r < 4$.

Krok 6. Pozostałe przypadki (kontrola). Dla $r = 4$ jeden z pierwiastków to dokładnie $-4$ - stąd trzy punkty z części a). Dla $r > 4$ mamy $f(-4) < 0$, jeden pierwiastek leży poniżej $-4$ i zostają dwa punkty. Dla $r = \frac{\sqrt{15}}{2}$ jest podwójny pierwiastek $y = -\frac{1}{2}$, czyli dwa punkty styczności, a dla mniejszych $r$ punktów wspólnych nie ma.

Odpowiedź. a) $(-\sqrt{7}, 3)$, $(\sqrt{7}, 3)$ i $(0, -4)$ - trzy punkty wspólne. b) Cztery punkty wspólne są dla $r \in \left(\frac{\sqrt{15}}{2}, 4\right)$.