Granica funkcji przez podstawienie - funkcja wymierna

Krok 1. Sprawdzamy, czy wolno podstawić. Funkcja wymierna jest ciągła w każdym punkcie, w którym mianownik nie jest zerem. Dla $x = 3$ mianownik to $3 + 1 = 4 \ne 0$, więc granica jest równa wartości funkcji w tym punkcie.

Krok 2. Podstawiamy $x = 3$. Licznik:

$3^2 - 2 \cdot 3 + 5 = 9 - 6 + 5 = 8,$

a mianownik to $4$. Zatem

$\lim_{x \to 3} \frac{x^2 - 2x + 5}{x + 1} = \frac{8}{4} = 2.$

Krok 3. Po co ten pierwszy krok? Podstawienie działa tylko wtedy, gdy wychodzi zwykła liczba. Gdyby mianownik dawał zero, musielibyśmy przekształcić wyrażenie (skracanie, usuwanie niewymierności) albo badać granice jednostronne - tak jak w kolejnych zadaniach.

Odpowiedź. $\lim\limits_{x \to 3} \frac{x^2 - 2x + 5}{x + 1} = 2$.