Granica funkcji w nieskończoności - symbol ∞/∞

Krok 1. Rozpoznajemy symbol. We wszystkich trzech przykładach licznik i mianownik rosną nieograniczenie co do wartości bezwzględnej - to symbol $\frac{\infty}{\infty}$. Sposób: dzielimy licznik i mianownik przez najwyższą potęgę $x$ występującą w mianowniku.

Krok 2. Przykład a) - dzielimy przez $x^2$:

$\lim_{x \to +\infty} \frac{3 - \frac{5}{x} + \frac{1}{x^2}}{6 + \frac{1}{x} - \frac{2}{x^2}} = \frac{3 - 0 + 0}{6 + 0 - 0} = \frac{1}{2}.$

Wszystkie ułamki typu $\frac{c}{x}$ i $\frac{c}{x^2}$ dążą do zera.

Krok 3. Przykład b) - dzielimy przez $x^2$:

$\lim_{x \to -\infty} \frac{\frac{2}{x} + \frac{1}{x^2}}{1 + \frac{4}{x^2}} = \frac{0 + 0}{1 + 0} = 0.$

Krok 4. Przykład c) - dzielimy przez $x^2$:

$\lim_{x \to +\infty} \frac{x - \frac{2}{x^2}}{4 + \frac{1}{x^2}} = +\infty,$

bo licznik dąży do $+\infty$, a mianownik do $4$.

Krok 5. Reguła na skróty. Wynik zależy od porównania stopni licznika i mianownika: równe stopnie - iloraz współczynników przy najwyższych potęgach (a); wyższy stopień w mianowniku - zero (b); wyższy w liczniku - nieskończoność ze znakiem, który trzeba ustalić (c).

Odpowiedź. a) $\frac{1}{2}$, b) $0$, c) $+\infty$.