Granice jednostronne i asymptoty wykresu funkcji wymiernej

Krok 1. Dziedzina. Mianownik zeruje się dla $x = 2$, więc $D = \mathbb{R} \setminus \{2\}$. Podstawienie nie jest możliwe: licznik dąży do $3$, a mianownik do $0$ - to nie jest symbol nieoznaczony, tylko sygnał, że granica będzie nieskończona. Trzeba ustalić znak.

Krok 2. Granica prawostronna. Dla $x$ trochę większych od $2$ (np. $2{,}01$) mianownik $x - 2$ jest małą liczbą dodatnią, a licznik jest bliski $3$. Iloraz liczby dodatniej przez coraz mniejszą liczbę dodatnią rośnie nieograniczenie:

$\lim_{x \to 2^+} \frac{x + 1}{x - 2} = +\infty.$

Krok 3. Granica lewostronna. Dla $x$ trochę mniejszych od $2$ (np. $1{,}99$) mianownik jest małą liczbą ujemną, więc

$\lim_{x \to 2^-} \frac{x + 1}{x - 2} = -\infty.$

Krok 4. Granica obustronna. Granice jednostronne są różne, więc granica $\lim\limits_{x \to 2} f(x)$ nie istnieje.

Krok 5. Asymptota pionowa. Skoro przy $x \to 2$ wartości uciekają do nieskończoności (z obu stron), prosta $x = 2$ jest asymptotą pionową (obustronną).

Krok 6. Asymptota pozioma. Licznik i mianownik mają ten sam stopień, więc

$\lim_{x \to \pm\infty} \frac{x + 1}{x - 2} = \lim_{x \to \pm\infty} \frac{1 + \frac{1}{x}}{1 - \frac{2}{x}} = 1.$

Prosta $y = 1$ jest asymptotą poziomą w $-\infty$ i w $+\infty$.

Odpowiedź. a) $\lim\limits_{x \to 2^-} f(x) = -\infty$, $\lim\limits_{x \to 2^+} f(x) = +\infty$; b) nie istnieje; c) asymptota pionowa $x = 2$, asymptota pozioma $y = 1$.