Granica 0/0 - skracanie ułamka po rozkładzie na czynniki

Krok 1. Próba podstawienia. Dla $x = -3$ licznik to $9 - 3 - 6 = 0$, a mianownik $9 - 9 = 0$. Wychodzi symbol nieoznaczony $\frac{0}{0}$ - nic jeszcze nie wiemy o granicy.

Krok 2. Rozkładamy na czynniki. Skoro oba wielomiany zerują się w $x = -3$, oba dzielą się przez $(x + 3)$. Trójmian w liczniku ma pierwiastki $-3$ i $2$, a w mianowniku mamy różnicę kwadratów:

$x^2 + x - 6 = (x + 3)(x - 2), \qquad x^2 - 9 = (x - 3)(x + 3).$

Krok 3. Skracamy. Przy liczeniu granicy $x \ne -3$, więc wolno skrócić czynnik $(x + 3)$:

$\lim_{x \to -3} \frac{(x + 3)(x - 2)}{(x - 3)(x + 3)} = \lim_{x \to -3} \frac{x - 2}{x - 3}.$

Krok 4. Teraz podstawiamy. Mianownik w $x = -3$ jest już różny od zera:

$\frac{-3 - 2}{-3 - 3} = \frac{-5}{-6} = \frac{5}{6}.$

Odpowiedź. $\lim\limits_{x \to -3} \frac{x^2 + x - 6}{x^2 - 9} = \frac{5}{6}$.