Granica 0/0 z różnicą sześcianów w liczniku

Krok 1. Próba podstawienia. Licznik: $2^3 - 8 = 0$. Mianownik: $4 - 6 + 2 = 0$. Symbol $\frac{0}{0}$ - trzeba przekształcić wyrażenie.

Krok 2. Licznik - wzór na różnicę sześcianów $a^3 - b^3 = (a - b)(a^2 + ab + b^2)$:

$x^3 - 8 = x^3 - 2^3 = (x - 2)(x^2 + 2x + 4).$

Krok 3. Mianownik - trójmian kwadratowy. Pierwiastki to $1$ i $2$ (suma $3$, iloczyn $2$), więc

$x^2 - 3x + 2 = (x - 1)(x - 2).$

Krok 4. Skracamy i podstawiamy. Dla $x \ne 2$:

$\lim_{x \to 2} \frac{(x - 2)(x^2 + 2x + 4)}{(x - 1)(x - 2)} = \lim_{x \to 2} \frac{x^2 + 2x + 4}{x - 1} = \frac{4 + 4 + 4}{2 - 1} = 12.$

Krok 5. Kontrola numeryczna. Dla $x = 2{,}001$ wyrażenie ma wartość około $11{,}994$, a dla $x = 1{,}999$ około $12{,}006$ - wartości rzeczywiście zbliżają się do $12$.

Odpowiedź. $\lim\limits_{x \to 2} \frac{x^3 - 8}{x^2 - 3x + 2} = 12$.