Granica z pierwiastkiem - usuwanie niewymierności (0/0)

Krok 1. Próba podstawienia. $\sqrt{5 + 4} - 3 = 3 - 3 = 0$ oraz $5 - 5 = 0$ - symbol $\frac{0}{0}$. Rozkładu na czynniki tu nie widać, bo przeszkadza pierwiastek.

Krok 2. Mnożymy przez wyrażenie sprzężone $\sqrt{x + 4} + 3$ (w liczniku i w mianowniku, więc wartość ułamka się nie zmienia). W liczniku powstaje różnica kwadratów:

$\left(\sqrt{x + 4} - 3\right)\left(\sqrt{x + 4} + 3\right) = (x + 4) - 9 = x - 5.$

Krok 3. Skracamy. Dla $x \ne 5$:

$\frac{\sqrt{x + 4} - 3}{x - 5} = \frac{x - 5}{(x - 5)\left(\sqrt{x + 4} + 3\right)} = \frac{1}{\sqrt{x + 4} + 3}.$

Krok 4. Podstawiamy. Mianownik nie zeruje się już w $x = 5$:

$\lim_{x \to 5} \frac{1}{\sqrt{x + 4} + 3} = \frac{1}{3 + 3} = \frac{1}{6}.$

Krok 5. Skąd pomysł z mnożeniem? Pierwiastek „znika” tylko po podniesieniu do kwadratu, a wzór $(a - b)(a + b) = a^2 - b^2$ daje kwadrat bez zmiany wartości ułamka. To ten sam chwyt co przy usuwaniu niewymierności z mianownika.

Odpowiedź. $\lim\limits_{x \to 5} \frac{\sqrt{x + 4} - 3}{x - 5} = \frac{1}{6}$.